Principio de mínima acción

1.- Generalidades

Podríamos comenzar este párrafo diciendo que en la Naturaleza, a nivel fundamental, todo es simplicidad y armonía. La Naturaleza tiene muy claro el principio de economía. Todos los fenómenos físicos se realizan de manera que la energía consumida sea la mínima; ¡en la Naturaleza no hay derroches de energía! Este proceder se conoce por el nombre de “principio de mínima acción”. También es conocido como “Principio de Hamilton”. Hamilton expuso su principio en 1835, y dice:” De todas las posibles evoluciones de un sistema, éste sigue la que hace la mínima acción” (presupuesto básico tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista).

En primer lugar, voy a referirme al estado de mínima energía de la órbita de giro del electrón en el átomo de hidrógeno, después relataremos algunos otros fenómenos que, seguro, son de todos conocidos. El referirme al átomo de hidrógeno es porque, al tener sólo un electrón en su corteza, nos resultará más fácil su estudio.

Como ya sabemos, los electrones giran alrededor del núcleo en órbitas bien determinadas, si se intenta fijar la posición del electrón en el átomo de hidrógeno, o en cualquier otro átomo, no nos será posible, ya que, por el principio de indeterminación de la mecánica cuántica, sabemos que no se puede predecir exactamente donde se halla el electrón. Ahora no vamos a señalar el porque, pero es así. El electrón está en alguna parte, pero tiene una amplitud (posibilidad) de estar en diferentes lugares. Donde no está es en el núcleo. Hay una distribución de posiciones de un determinado orden, digamos que de a. Esto quiere decir que la distancia del electrón al núcleo es habitualmente de a.

Lo que también sabemos es que el electrón no está detenido, gira alrededor del núcleo. Entonces tiene una determinada energía cinética. De todos es conocido que la energía cinética de una partícula en movimiento es 1/2mv2, pero en este caso, por intervenir el principio de indeterminación y no saber la velocidad de desplazamiento del electrón, tendríamos que ir a la fórmula en la que intervienen la constante electrostática de Coulomb, la carga del electrón y el radio de su órbita de giro, pero, por la simplicidad del tema, no vamos a profundizar más en su búsqueda (ver punto 6 al final).

Ahora bien, también hay una energía potencial, puesto que el electrón está siendo atraído por el núcleo. Energía que depende de a, y, como sabemos, energía que se reduce si a disminuye. Pero tenemos que admitir, porque es así, que cuanto menor es a tanto mayor es el momento del electrón, por ser los momentos inversamente proporcionales a la distancia a, y, mayor será la energía cinética en la que interviene el momento al cuadrado. Lo que tenemos que tener en cuenta es que la energía total del electrón en cualquier instante será la diferencia entre las dos energías que porta; la energía potencial y la cinética. Hemos indicado que no sabemos cuanto vale a, pero lo que si sabemos es que el átomo se las arreglará por si mismo, y hará cierto compromiso, de modo que la energía total del electrón (diferencia entre energía cinética y potencial), alcance un valor tan pequeño como sea posible, y que vamos a llamar Ep. Esta distancia al núcleo, a la que tiene lugar la mínima acción (ap) se denomina radio de Bohr.

Se tiene, de acuerdo con los cálculos que no realizaremos por la simplicidad de estas notas, que:

Radio de Bohr = 0’528 angstron = 0’00000000528 cm.

Con este valor de ap podemos hallar el de Ep, que es la energía del electrón para el estado fundamental del átomo de hidrógeno, y que, como hemos dicho, es la mínima posible. De acuerdo con los cálculos se obtiene:

Ep = -13’5 ev.

¿Qué significa una energía negativa? Significa que el electrón tiene menos energía cuando está ligado al átomo que cuando está libre. Significa que si queremos dejar libre al electrón de esta ligadura, si queremos arrancarle del átomo de hidrógeno, esto es , ionizar el átomo de hidrógeno, hay que aplicar al átomo una energía ligeramente superior a 13’5 ev.

Ahora se puede comprender por qué no caemos a través del piso de nuestra vivienda. Cuando caminamos, nuestros pies con toda la masa de nuestro cuerpo empujan contra el piso que también tiene su masa de átomos. Para apretar los átomos del piso, sus electrones tendrían que confinarse en un espacio menor y la fuerza gravitatoria de nuestro cuerpo es incapaz de vencer la fuerza de repulsión de los electrones de cada átomo del piso (la fuerza de repulsión electromagnética de los electrones es ¡un 1 seguido de 36 ceros de veces superior a la gravitatoria de nuestro cuerpo!), ¡has visto alguna vez una diferencia tan enorme! Por ello, los átomos del piso no se pueden comprimir.


2.- Niveles de energía de los átomos

Voy a mencionar algo sobre los niveles de energía de los átomos. Se ha hablado del átomo en su condición de más baja energía posible, pero resulta que el electrón puede moverse y agitarse, de manera más rápida si se le comunica energía (calor, por ejemplo) Cuando el electrón está libre, cuando no está en un átomo ligado a un núcleo, puede moverse a cualquier velocidad, sin sobrepasar la de la luz. Pero las energías de ligamiento, cuando está en el átomo, no son arbitrarias. En el átomo, el electrón debe de tener uno u otro de un conjunto de valores permitidos. Esto es lo que se conoce como niveles de energía.

Un electrón puede saltar, si se le comunica energía, de un nivel de energía a otro superior (de un orbital [1] a otro más externo, en el caso de átomos con varios orbitales) [2]. Esto se denomina estado excitado. En el caso de un estado excitado, de átomos con varios orbitales de electrones, el electrón no puede permanecer para siempre en el orbital al que ha sido elevado, tarde o temprano (más bien temprano), caerá a un estado más bajo, a su órbita habitual, (el orbital mínimo al que puede caer es el que corresponde al radio de Bohr). Al caer el electrón de un orbital a otra de menor energía, el electrón pierde una cantidad de energía equivalente a la diferencia, en energía, entre los dos orbitales. Esta energía se irradia (radiación) en forma de luz, (emite fotones si está en un espacio libre). Si el electrón forma parte de una molécula que está compartiendo un proceso vital, el organismo la atrapa y la retiene para utilizarla cuando tenga necesidades de energía. Recordemos que a mayor frecuencia de la radiación mayor energía emitida.


3.- Un caso curioso de mínima acción

Feynman en su libro Física, tomo II, (1971) para describir el principio de mínima acción, se refiere a una partícula que se mueve en un campo gravitatorio y dice: “Si lanzamos una piedra hacia arriba, ella sube y baja, realiza un recorrido desde el punto de origen hasta el final en un cierto tiempo y con una determinada trayectoria, que es una clase de curva (es una parábola si la representamos con relación al tiempo). Pero es una trayectoria única y definida para cada lanzamiento, y no puede ser otra, de forma que si pudiéramos calcular la energía cinética en cada instante de la trayectoria, la restamos la energía potencial y se integra sobre la trayectoria recorrida, el valor obtenido es el menor que se obtendría si la piedra siguiera otra trayectoria cualquiera. O dicho en otras palabras, la energía cinética media menos la energía potencial media, en cada punto de la trayectoria, es tan pequeña como sea posible, y "esto se cumple siempre”.

Cuando un objeto se lanza hacia arriba en un campo gravitatorio, como el terrestre, primero se eleva rápidamente y luego va más lento, hasta que cae, esto se debe a que además de la energía cinética que adquiere el cuerpo al ser lanzado, también va adquiriendo una energía potencial a medida que se eleva, y debemos tener unos mínimos para la diferencia entre ambas energías. Tampoco podrá subir demasiado alto [3] porque entonces se precisaría más energía cinética y sólo se dispone de una determinada, la de lanzamiento. Como vemos, el compromiso es conseguir la menor diferencia media entre las dos energías (cinética y potencial).

4.- Trayectoria de la luz

Estos principios de mínimos se cumplen siempre en todos los procesos físicos, pero por su generalidad, vamos a referirnos a uno muy conocido: la trayectoria de la luz.

La luz es sólo una pequeña parte del vasto espectro de la radiación electromagnética. Lo que se sabe de la luz, de tiempo inmemorial, es que cuando va de un lugar a otro lo hace en línea recta, si no hay nada que se oponga a su paso en el camino (por geometría sabemos que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta). Esto nos parece tan normal, que no se nos ocurre pensar que puedan existir razones para que sea así.

También sabemos que cuando la luz golpea en un espejo rebota en él y toma una nueva dirección, de forma que el rayo que llega y el que sale forman un ángulo determinado. Este fenómeno se conoce con el nombre de reflexión.

Por experiencia, también sabemos que si un rayo de luz atraviesa un cuerpo transparente, el agua, por ejemplo, el rayo en el agua sigue, también, una trayectoria recta, pero el rayo de luz sufre, al penetrar en el agua, una inclinación con respecto a su trayectoria en el aire. Este fenómeno se denomina refracción (como veremos, en un ejemplo que ponemos más abajo, esto es como utilizar la inteligencia).

Lo curioso es que existe una relación determinada entre los ángulos que forman el rayo incidente y el reflejado o el refractado con respecto a la normal. ¿Cuál es esta relación entre uno y otro ángulo? Los antiguos no encontraron explicación a este fenómeno hasta que Fermat, en el año 1650, descubrió las leyes que rigen este comportamiento de la luz y lo denominó principio del tiempo mínimo. Su idea era esta: dentro de los caminos posibles que puede tomar un rayo de luz para ir de un punto a otro, siempre elige el que requiere el tiempo más corto. En el caso de la refracción, la causa real es que la velocidad de la luz, en cualquier medio transparente es menor que en el aire (aunque en el aire es ligeramente menor que en el vacío-un 0’999 inferior-, no obstante, las velocidades en el aire y en el vacío se consideran prácticamente iguales.

Primeramente vamos a intentar explicar este fenómeno con un símil. Supongamos que un persona se ha caído de un bote al agua de un río y está pidiendo auxilio. Situémosla en el agua en un punto B, a una distancia X de la orilla, nosotros estamos en un punto A, en tierra, a una distancia Y de la orilla.

La distancia de A á B, por estar el punto B desplazado a la izquierda nuestra, no será X más Y, si no mayor. Nosotros para salvar a la persona podemos correr y también nadar, pero podemos correr más rápido de lo que podemos nadar. ¿qué hacemos? ¿vamos en línea recta de A a B, o utilizamos la inteligencia? Sabemos que es ventajoso seguir una distancia un poco mayor por tierra para disminuir la distancia en el agua, porque nos movemos más lentamente en él, y, así, llegaremos en el menor tiempo y, por tanto, consumiendo menos energía.

Siguiendo esta línea de razonamientos, diríamos que lo correcto es calcular muy cuidadosamente lo que se debe hacer. Esto es lo que hace la Naturaleza con el rayo de luz para mantener el principio de mínima acción. Ha calculado y ha llegado a la conclusión que para ir de un punto A á otro, B, si tiene que pasar de un medio a otro, por el que se desplaza a velocidad distinta, el rayo de luz tiene que desviarse, donde la velocidad es más lenta, para llegar en el menor tiempo posible, De este cálculo ha resultado, para los humanos, una ley que dice: El cociente entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción es igual al cociente entre las velocidades en los dos medios, ¡Qué curioso! La Naturaleza ¿sabía desde el principio de trigonometría y velocidades? Será cierto, como dijo Platón, que “Dios es un geómetra”. Yo agrego: La Naturaleza todo lo sabe y, por tanto, todo lo puede.

Sigamos. La luz se propaga en línea recta, todos lo sabemos. Claro, como que cualquier otro camino la llevaría un tiempo más largo para desplazarse. Pero lo curioso es que la luz no tiene marcado el camino a seguir, como el ferrocarril o un vehículo que circula por la carretera, es ella la que elige el de mínima acción. La luz determina cual es de tiempo más corto y elige ese camino. Pero ¿qué hace? ¿Huele ella los caminos vecinos y los compara entre si? En cierto modo es esto lo que hace. El camino elegido es aquel formado por un grupo de trayectorias, próximas entre si, entre las que apenas haya diferencias de fases. Por ello, cuando se pone delante de un foco de luz una pantalla opaca con un orificio muy pequeño, al no poder los fotones ensayar todas las trayectorias posibles para decidir el camino a seguir, la luz sigue varios caminos simultáneamente y se produce el fenómeno de difracción.

Antes de terminar volvamos al espejo. La figura que vemos al mirarnos en él es un fenómeno que siempre me ha llamado la atención; se nos manifiesta como si estuviéramos detrás del espejo cuando esto es irreal. Sin embargo, no nos extraña, lo consideramos normal, no nos preguntamos ¿cómo es posible?

Feinman, en su libro Física (1971), lo explica así: “Si nos situamos delante de un espejo nos vemos reflejados en él como si realmente estuviéremos detrás del espejo. Por supuesto, el ojo detecta sólo la luz física que entra en él. Por óptica geométrica sabemos que la luz que llega al ojo, en este caso, corresponde al rayo reflejado en el espejo, que forma un ángulo más o menos abierto con el rayo incidente, pero llega en la misma dirección que habría llegado al ojo, en trayectoria recta, si el objeto hubiera estado situado en el punto especular, que es donde imaginamos verlo”.

Como aclaración, yo agrego lo siguiente: si utilizamos una cámara fotográfica, también capta una imagen como la que nosotros vemos, Esto es normal, porque tanto la imagen que capta la cámara como la que captamos nosotros son debidas a los rayos reflejados por el espejo. Pero nuestro sistema ojo-cerebro y la cámara, actúan, al no saber de dobleces de rayos en un espejo, como si la luz viniera en línea recta desde el objeto, y por eso vemos la imagen como si estuviera en el punto especular, esto es, detrás del espejo.

5.-Desintegración del neutrón

Otro caso curioso de mínimos es el del neutrón. El neutrón, que es una partícula neutra, integra, junto con el protón, los núcleos atómicos. El neutrón libre, fuera del núcleo, es una partícula inestable, se desintegra rápidamente en un protón, un electrón y un antineutrino. Tiene un promedio de vida de unos 920 segundos [4], pero dentro del núcleo resulta estable, ¿Por qué? La respuesta, en esencia, se apoya en una simple cuestión del edificio nuclear, debida a las interacciones fuertes y electromagnéticas que tienen lugar en dicho edifico y mantienen unidos a sus componentes. En última instancia, esta estabilidad es también una consecuencia del principio de mínima acción.

Un núcleo atómico es un sistema, más o menos estable, construido por protones y neutrones unidos entre si por la interacción fuerte (ver el tema Fuerzas y elementos constitutivos de la Naturaleza). Conviene tener en cuenta que las fuerzas de repulsión eléctricas entre protones, por tener cada uno una carga positiva, aunque inferiores a las atractivas nucleares, constituyen un elemento de inestabilidad cuya importancia aumenta con el número de protones del núcleo, inestabilidad que es compensada, en parte, por los neutrones que, al no tener carga, solo son afectados por las fuerzas nucleares de atracción y, de esta forma, actúan como pegamento respecto a los protones al intercalarse entre ellos. Esta inestabilidad es causa de que todos los elementos cuyo núcleo atómico tiene un elevado número de protones (superior a 83), al aumentar la fuerza repulsiva entre los protones, por su elevado número, se crea un estado de inestabilidad mayor que favorece la desintegración del neutrón, por lo que estos elementos, salvo raras excepciones, son radioactivos (se desintegran).

Pues bien, entre todas las configuraciones posibles que pueden adoptar los protones y neutrones en el núcleo existe una en que la energía del sistema es mínima y es la que adoptan los núcleos, y, así es como los conocemos, Este valor de mínima energía se llama valor energético fundamental del núcleo.

¿Por qué no se desintegra el neutrón en el interior de un núcleo de los elementos estables? Porque de desintegrarse se transformaría en un protón y en la configuración de mínima energía de ese núcleo no hay sitio para otro protón. Para hacerle sitio habría que consumir energía, y mantenerla, para aumentar el valor energético fundamental. Es como si los protones y neutrones en el estado de mínima energía formaran un bloque cerrado donde no tiene cabida ningún otro elemento. .

Podría seguir con más casos de mínima acción, ya que en la Naturaleza todo se comporta sin faltar a este principio, pero creo que con los narrados es suficiente para darnos una idea de lo rigurosa y exigente que es la Naturaleza en el cumplimiento de todos los principios que rigen su comportamiento, porque, si no, la Naturaleza dejaría de ser lo que es.


[1] Orbital.- Los electrones giran alrededor del núcleo en distintos orbitales. Cada orbital se completa con dos electrones. Con excepción del hidrógeno y el helio, que tienen 1 y 2 electrones respectivamente, y por tanto un orbital, a partir del litio, con 3 electrones, ya aparecen 2 orbitales, y van aumentando a medida que avanzamos en la tabla periódica de elementos. Cuando hablamos de órbitas nos referimos a una agrupación de orbitales.

[2] En el caso del átomo de hidrógeno, si recibe una energía superior a 13’5 ev., como no tiene más que una órbita, se escapa del átomo. El átomo al quedar sin el electrón deja de estar en estado neutro y aparece con una carga positiva, la del núcleo (resulta ionizado), al no quedar neutralizada por la negativa del electrón tránsfuga.

[3] Esto no se cumple si la velocidad adquirida por el objeto, en el instante de ser lanzado, es superior a la velocidad de escape (11’2 kilómetros por segundo) ya que entonces escaparía a la acción de la gravedad y saldría al espacio exterior como en el caso de los cohetes espaciales.

[4] Ver promedio de vida de las partículas radioactivas en el tema Isótopos.

[5] K = 9 por 10 elevado a 9, por N por m elevado a 2, dividido entre C elevado a 2 . Donde N = fuerza en Newton; m = metros y C carga en culomb. El elvado valor de esta constante nos da una idea de la magnitud de las fuerzas eléctricas.

BIBLIOGRAFÍA

Feiman, R. (1971). Física, (3 volúmenes). (Ed. Bilingüe de Fondo Educativo Interamericano). (Trabajo original publicado en 1963).