sábado, 6 de febrero de 2010

Estructuras fractales

Vamos a referirnos a las estructuras fractales por la especial aplicación que de ellas hace la Naturaleza.

Como dice James Gleick, en su libro Caos, podríamos definir el fractal como un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. Este proceso repetitivo puede ser generado de una forma recursiva o iterativa capaz de producir estructuras autosimilares, independientes de su escala específica. Por su característica especial debido a su textura, muchas estructuras de la Naturaleza son del tipo fractal. La característica más importante de las estructuras fractales es que dentro de su textura, alguna de sus dimensiones, es mayor que su dimensión topológica
[1]. Esta es la razón principal por la que esta estructura es utilizada por la Naturaleza de una forma muy reiterativa. De nuevo, tenemos que reiterar: que sabia Naturaleza.



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EL COPO DE NIEVE DE KOCH.
«Un tosco, pero vigoroso modelo de línea cos­tera», al decir de Mandelbrot. Para construir una curva de Koch, empiécese con un triángulo cuyos lados tienen longitud 1. En el centro de cada uno, agréguese otro nuevo triángulo, que mida un tercio del original, etc. La lar­gura del límite es 3 x 4/3 x 4/3 x 4/3...: infinito. No obstante, su área es menor que la de un círculo trazado alrededor del triángulo primitivo. Por lo tanto, una línea infinitamente larga rodea un área finita.

El físico y matemático Mandelbrot fue el descubridor de la geometría fractal . Él creó la palabra fractal (sustantivo y adjetivo). Un fractal es como una manera de tener lo infinito al alcance de la mano. Imaginemos un triángulo equilátero como el de la figura; cada uno de sus lados mide treinta centímetros. Imagínese también una transformación: un conjunto de reglas particulares, bien definidas y fáciles de aplicar en todas las ocasiones que se desee. En la tercera parte central de cada lado, aplíquese otro triángulo, también equilátero, pero de un tercio del tamaño del primitivo.

Se obtiene, así, una estrella de David. En lugar de tres segmentos de treinta centímetros, ahora el contorno de la figura se compone de doce de diez centímetros. Su contorno es 30 cm. superior del primitivo, o lo que es lo mismo; el contorno actual es igual al contorno primitivo multiplicado por 4/3, como vimos en la figura.

A renglón seguido, repítase la transformación en cada uno de los doce lados, en cuyo tercio central se colocará un triangulito. Y así sucesivamente hasta el infinito. El contorno presentará detalles más numerosos tras cada nueva división. Adquiere el aspecto de un ideal copo de nieve. Su contorno es lo que se conoce por una curva de Koch – por curva se entiende cualquier línea enlazada, sea recta, sea arqueada – llamada así en honor de Helge von Koch, de Suecia, que la describió originalmente en 1904.

La reflexión muestra algunos rasgos interesantes de la curva de Koch. Ante todo, es continua, los nuevos triángulos de cada lado son siempre lo bastante pequeños para entremeterse en los otros. Cada mutación añade una pequeña área en el interior de la curva; pero el área total se mantiene finita, es decir, en realidad no mucho más grande que la del triángulo primitivo. Si se circunscribiese un círculo alrededor de éste, la figura de Koch nuca se extendería más allá de él.

Con todo, la curva es en si infinitamente larga. Así como la primera transformación sustituye un segmento de treinta centímetros por cuatro de diez, así cada modificación multiplica la longitud total anterior por cuatro tercios. Este resultado paradójico, el de una longitud infinita en un espacio finito, desconcertó a muchos matemáticos del comienzo de siglo que lo estudiaron, por ser patológicamente distinto a todo lo que podía encontrarse en el cálculo matemático.

No obstante, dadas las circunstancias, no llamó mucho la atención en aquella época; pero unos pocos matemáticos, también perversos, concibieron otras figuras que compartían algunas cualidades de la de Koch. Hubo las curvas de Peano. Hubo las alfombras y los tomadores de Sierpinski. Una alfombra de Sierpinski se confecciona con un cuadrado, que se divide con líneas en otros nueve iguales, de los cuales se elimina el central. Se repite la operación en los ocho restantes como se muestra en el dibujo superior de la página siguiente, y así se repite la operación de forma continuada.

Otra figura es el cuerpo tridimensional de la figura inferior de la misma página, denominado esponja de Menger, enrejado de aspecto sólido, que si se repite sin llegar al infinito, resta peso sin perder fuerza estructural y a la vez, la superficie de sus caras interiores es muy superior a su dimensión topológica.




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UNA CONSTRUCCIÓN EFECTUADA CON AGUJEROS. Unos pocos matemáticos concibieron, a principio del siglo xx, objetos en apariencia mostruosos, uti­lizando la técnica de añadir o quitar sin límite muchas de sus partes. Una de tales figuras es la alfombra de Sierpinski. Se construye cortando en el centro una novena parte del cuadrado; después se hace lo mismo con los centros de los ocho cuadraditos que quedan, etc. Un parangón tridimensio­nal es la esponja de Menger, enrejado de aspecto sólido, con la superficie de sus caras interiores muy superior a su dimensión popológica.

Las descripciones fractales encuentran aplicaciones inmediatas en la solución de diversidad de problemas. y muy especialmente en los biológicos. Concíbase un hombre cuyo tamaño se duplicase sin alterar ninguna de sus proporciones, lo más probable es que su cuerpo se aplastase debido a su propio peso si a su estructura ósea, especialmente, no se la restase peso sin perder consistencia. Debemos recordar que en los animales su estructura corpórea se halla íntimamente ligada a una escala particular de dimensiones.

Un ejemplo lo tenemos en la torre Eiffel, en la que sus vigas, riostras y durmientes se ramifican en un enrejado de miembros siempre más delgados, en una magnífica red de finos detalles. Eiffel, desde luego, no podía llevar el esquema hasta el infinito, pero así consiguió restar peso sin perder fuerza estructural.

Ya que nos hemos referido al cuerpo humano, imaginemos los vasos sanguíneos; desde la aorta a los capilares forman una especie de continuo. Se ramifican y dividen, y vuelven a ramificarse, hasta hacerse tan angostos, que las células de la sangre han de pasar por ellos en fila india, para, después, iniciar su retorno al corazón, pasando por los pulmones, por un camino ramificado a la inversa. La índole de su ramificación es fractal. Su estructura se asemeja a uno de los monstruosos objetos imaginarios que concibieron los matemáticos como Mandelbrot. Por obligación fisiológica, los vasos sanguíneos deben efectuar un poco de magia dimensional, tienen que comprimir una línea de longitud diríamos que casi infinita en un espacio exiguo, así el sistema circulatorio tiene que comprimir, como la curva de Koch; una enorme superficie ramificada en un volumen limitado. Desde el punto de vista del cuerpo, la sangre es costosa y debe llegar a todas partes, por lo que el espacio es muy valioso. La estructura fractal, en este caso, cumple su cometido con tal eficacia, que, en la mayor parte de los tejidos, ninguna célula dista más de otras tres o cuatro células de un vaso sanguíneo. Sin embargo, estos y la sangre ocupan escaso espacio, apenas más allá del cinco por ciento del cuerpo.

Esta estructura exquisita de dos árboles entrelazados de venas y arterias, no es excepcional. El cuerpo humano está lleno de ellas. El tracto digestivo posee un tejido con ondulaciones dentro de ondulaciones. Los pulmones necesitan incluir la mayor superficie posible en el espacio más reducido, puesto que la capacidad de un animal para absorber oxígeno es proporcional a la superficie pulmonar. Los pulmones humanos típicos comprimen un área más grande que una pista de tenis. A ello se une otra complicación: el laberinto de los alvéolos y conductos aéreos ha de enlazar correctamente con los capilares arteriales y venosos.

¿Cómo logró la Naturaleza desarrollar estructura tan complicada? Dice Mandelbrot: no hay duda que las estructuras ramificadas así como la enorme cifra de bronquios, bronquíolos y alvéolos, se describen como fractales. La enorme cifra individual de estos elementos o la peculiar estructura del árbol resultante en su proceso repetido de bifurcaciones y desarrollo, son acciones que convienen a los fines de la Naturaleza.

Mandelbrot se trasladó de los alvéolos pulmonares y las ramificaciones vasculares a las estructuras del reino de las plantas; en la molécula de clorofila donde se apresan los rayos solares y en la forma de resistir el viento las ramas y hojas, todas ellas estructuras fractales, por lo que se llega a la conclusión de que la disposición fractal se usa a escala universal.


BILIOGRAFÍA


Gleik, j. (1998). Caos`(Gutiérrez, J.A. Trad.) (3ª ed.). Barcelona: Ed. Seix Barral. (Trabajo original publicado en 1987).




[1] Espacio topológico podríamos definirlo como el tipo de consistencia o textura que presenta un objeto.