En griego, la palabra Física designa a la Naturaleza. La Física es la ciencia que estudia las propiedades objetivas del mundo material que nos rodea, por lo que su contenido es muy amplio y no se puede establecer netamente una línea divisoria entre la Física y otras ciencias naturales.
En este tema, como un anexo a lo escrito con anterioridad, nos vamos a referir a algunos aspectos, a mi juicio interesantes, de la ley de gravitación universal, a la que se subordinan todos los cuerpos conocidos, tanto celestes como terrestres, independientemente de que sean químicamente simples o compuestos, vivos o inertes. Ley que por su trascendencia ya hemos mencionado en algunos de los escritos sobre Materia y Vida.
Además, el desarrollo de estos temas nos servirán para ver lo necesario que es el dominio del cálculo matemático (y nos servirá de recordatorio) para alcanzar la resolución de los problemas propuestos, por lo que podemos afirmar que las matemáticas son la base para el estudio de todas las ciencias.
Por otra parte, merece destacar que la mayoría de los descubrimientos físicos han servido de impulso para el desarrollo de otras ciencias y muy especialmente de la casi totalidad de los avances técnológicos.
Comencemos, pues, con nuestro tema. En el universo, todos los cuerpos se atraen mutuamente. Según la ley de gravitación universal de Newton; dos cuerpos cualesquiera se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Designando las masas de los cuerpos que se atraen por m1 y m2, y la distancia entre ellos por r, la fuerza de atracción será:
f = k(m1 m2) / r2
donde k es una constante determinada, denominada constante de gravitación, y cuyo valor en el sistema cegesimal es: 6’ 685 · 10 elevado a -8 cm3/g · seg2.
De acuerdo con la ley de la gravitación universal se deduce que en la superficie de la Tierra (suponiendo que fuera una esfera correcta) todos los cuerpos deben caer con la misma aceleración, si no tuvieran roce con el aire. La aceleración adquirida por un cuerpo de masa m es
w = f/m , de donde f = mw
f es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra y w la aceleración.
Según la ley de Newton, en el caso de una masa m que es atraída por la Tierra, se tiene:
f = k(m Mt) / Rt2
donde Mt es la masa de la Tierra y Rt su radio, de donde
w = k (m Mt) / Rt2 (1/m) = k (Mt / Rt2)
La última fórmula nos dice que, como la masa de la Tierra y su radio son magnitudes constantes, la consecuencia es que todos los cuerpos de la superficie de la Tierra, con independencia de sus masas, caen con la misma aceleración, aceleración que se expresa con la letra g0, por tanto
g0 = k Mt / Rt2
Ecuación 1
La aceleración de la gravedad (g0) se define como la fuerza con que es atraída una pesa patrón de 1kg masa, en la latitud de 45º y al nivel del mar; este valor es de 9’81 m/seg2.
Con los datos de la ecuación 1, podremos averiguar la masa de la Tierra y su densidad.
Sabiendo que:
g0 = 981 cm/seg2
k = 6’685 · 10 elevado a-8 cm3/g · seg2
Rt = 6370 · 10 elevado a 5 cm.
y utilizando la fórmula 1, tenemos:
Mt = g0Rt2/k
Al resolver esta fórmula, obtenemos como valor de Mt = 5’98 · 10 elevado a 27 g.
La densidad media de la esfera terrestre la hallamos de la ecuación
d = Mt/ (4/3 · π · Rt3)
de donde calculamos que el valor de d = 5’5 g/cm3.
Otra consecuencia muy importante de la ley de gravitación universal es, como vamos a ver, la deducción de la velocidad de escape.
Partiendo de la base de que todos conocemos los conceptos de fuerza, trabajo, energía potencial y energía cinética, nos vamos a adentrar en este estudio.
En el campo gravitacional de la gravedad terrestre, el trabajo desarrollado por una partícula que se desplaza en él, no depende de la forma ni de la longitud de su trayectoria, sino solamente de la diferencia de alturas, con respecto a la Tierra, entre el punto inicial y final del movimiento, punto final que, la mayoría de las veces, es la superficie de nuestro planeta.
En física se demuestra (aquí no lo vamos a hacer por la elementalidad de estas notas) que la energía potencial de gravitación para dos masas m1 y m2 separadas por una distancia r es:
Ep = -k (m1m2)/r
Ecuación 2
¿Por qué aparece el signo menos en la ecuación anterior?
Al referirnos, en este caso, cuando la masa m2 se encuentra en el infinito, o sea, r = infinito, donde la energía potencial sería la máxima que se puede conseguir, pero por haberse convenido en considerar que la energía potencial en este punto sea igual a cero, resulta que las energías potenciales que fuese adquiriendo el cuerpo al acercarse a la Tierra, (masa m1) al ser atraído por ella, disminuirían, por lo que, por consiguiente, serían inferiores a cero, es decir, serían negativas. Por lo tanto, consecuencia de ello es que la ecuación anterior debe ser negativa.
Debemos recordar, también, que en cualquier instante de la trayectoria r de un cuerpo que se desplaza en un campo gravitacional, la suma de las energías cinética y potencial, con sus signos respectivos, es igual a la de su energía total (Ec + Ep = E)
De acuerdo con la ley de la gravitación universal se deduce que en la superficie de la Tierra (suponiendo que fuera una esfera correcta) todos los cuerpos deben caer con la misma aceleración, si no tuvieran roce con el aire. La aceleración adquirida por un cuerpo de masa m es
w = f/m , de donde f = mw
f es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra y w la aceleración.
Según la ley de Newton, en el caso de una masa m que es atraída por la Tierra, se tiene:
f = k(m Mt) / Rt2
donde Mt es la masa de la Tierra y Rt su radio, de donde
w = k (m Mt) / Rt2 (1/m) = k (Mt / Rt2)
La última fórmula nos dice que, como la masa de la Tierra y su radio son magnitudes constantes, la consecuencia es que todos los cuerpos de la superficie de la Tierra, con independencia de sus masas, caen con la misma aceleración, aceleración que se expresa con la letra g0, por tanto
g0 = k Mt / Rt2
Ecuación 1
La aceleración de la gravedad (g0) se define como la fuerza con que es atraída una pesa patrón de 1kg masa, en la latitud de 45º y al nivel del mar; este valor es de 9’81 m/seg2.
Con los datos de la ecuación 1, podremos averiguar la masa de la Tierra y su densidad.
Sabiendo que:
g0 = 981 cm/seg2
k = 6’685 · 10 elevado a-8 cm3/g · seg2
Rt = 6370 · 10 elevado a 5 cm.
y utilizando la fórmula 1, tenemos:
Mt = g0Rt2/k
Al resolver esta fórmula, obtenemos como valor de Mt = 5’98 · 10 elevado a 27 g.
La densidad media de la esfera terrestre la hallamos de la ecuación
d = Mt/ (4/3 · π · Rt3)
de donde calculamos que el valor de d = 5’5 g/cm3.
Otra consecuencia muy importante de la ley de gravitación universal es, como vamos a ver, la deducción de la velocidad de escape.
Partiendo de la base de que todos conocemos los conceptos de fuerza, trabajo, energía potencial y energía cinética, nos vamos a adentrar en este estudio.
En el campo gravitacional de la gravedad terrestre, el trabajo desarrollado por una partícula que se desplaza en él, no depende de la forma ni de la longitud de su trayectoria, sino solamente de la diferencia de alturas, con respecto a la Tierra, entre el punto inicial y final del movimiento, punto final que, la mayoría de las veces, es la superficie de nuestro planeta.
En física se demuestra (aquí no lo vamos a hacer por la elementalidad de estas notas) que la energía potencial de gravitación para dos masas m1 y m2 separadas por una distancia r es:
Ep = -k (m1m2)/r
Ecuación 2
¿Por qué aparece el signo menos en la ecuación anterior?
Al referirnos, en este caso, cuando la masa m2 se encuentra en el infinito, o sea, r = infinito, donde la energía potencial sería la máxima que se puede conseguir, pero por haberse convenido en considerar que la energía potencial en este punto sea igual a cero, resulta que las energías potenciales que fuese adquiriendo el cuerpo al acercarse a la Tierra, (masa m1) al ser atraído por ella, disminuirían, por lo que, por consiguiente, serían inferiores a cero, es decir, serían negativas. Por lo tanto, consecuencia de ello es que la ecuación anterior debe ser negativa.
Debemos recordar, también, que en cualquier instante de la trayectoria r de un cuerpo que se desplaza en un campo gravitacional, la suma de las energías cinética y potencial, con sus signos respectivos, es igual a la de su energía total (Ec + Ep = E)
Por otro lado, la energía cinética de este cuerpo cuando se halla a una distancia infinitamente grande, donde la energía potencial es cero, como henos dicho, y la velocidad es v0, su energía cinética, por tanto, sería:
Ec0 = (m v02)/2 = E, (por ser en este punto Ep=0)
Ecuación 3
de donde v0 = V(2E/m2) .
Ecuación 4
Ec0 = (m v02)/2 = E, (por ser en este punto Ep=0)
Ecuación 3
de donde v0 = V(2E/m2) .
Ecuación 4
(Por dificultades en el simbolismo, v02 significa v0 elevado al cuadrado y v3, v elevado a la tercera potencia. El símbolo v significa la raiz cuadrada de la cantidad que le sigue entre paréntesis o entre corchetes.)
La energía cinética del móvil m2, en cualquier instante de su trayectoria al acercarse a la Tierra, y suponemos que es el instante r, el mismo instante que hemos supuesto para su energía potencial (ecuación 2), será:
EC = (m2v2)/2
Ecuación 5
De acuerdo con la igualdad EC + EP = E y las ecuaciones 2 y 5, tenemos:
m2v2/2 – k (m1m2)/r = E
de donde, teniendo en cuenta la ecuación 4,
v = V[2E/m2) + k(2m1)/r] = V[ v02 + k(2m1)/r]
Si el cuerpo 2, hallándose a una distancia infinita del cuerpo 1, tuviese la velocidad v0 = 0, tendríamos que
v = V( k 2m1/r)
Ecuación 6
Veamos ahora el caso de un cuerpo sólido de masa m1 que cae desde el infinito a la tierra con una velocidad inicial v0 = 0. Entonces, según la ecuación 6, al alcanzar la superficie de la Tierra, tendrá la velocidad
v = V[k(2Mt)/Rt]
La energía cinética del móvil m2, en cualquier instante de su trayectoria al acercarse a la Tierra, y suponemos que es el instante r, el mismo instante que hemos supuesto para su energía potencial (ecuación 2), será:
EC = (m2v2)/2
Ecuación 5
De acuerdo con la igualdad EC + EP = E y las ecuaciones 2 y 5, tenemos:
m2v2/2 – k (m1m2)/r = E
de donde, teniendo en cuenta la ecuación 4,
v = V[2E/m2) + k(2m1)/r] = V[ v02 + k(2m1)/r]
Si el cuerpo 2, hallándose a una distancia infinita del cuerpo 1, tuviese la velocidad v0 = 0, tendríamos que
v = V( k 2m1/r)
Ecuación 6
Veamos ahora el caso de un cuerpo sólido de masa m1 que cae desde el infinito a la tierra con una velocidad inicial v0 = 0. Entonces, según la ecuación 6, al alcanzar la superficie de la Tierra, tendrá la velocidad
v = V[k(2Mt)/Rt]
donde Mt es la masa de la Tierra y Rt su radio. Colocando aquí sus valores: k = 6’685·10 elevado a -8 cm3/g.seg2 ; Mt = 5’98·10 elevado a 27g; y Rt = 6’37·10 elevado a 8 cm, obtenemos:
v = V[6’685·10 elevado a -8(2·5’98·10 elevado a 27/6’37·10 elevado a 8)] cm/seg = 11’2·10 elevado a 5 cm/seg.
Así, tenemos que un cuerpo que cae sobre la superficie de la Tierra desde el infinito, debido a la atracción de la Tierra, alcanza la velocidad de 11’2 km/seg. Y viceversa, para que un cuerpo lanzado desde la superficie de la Tierra, verticalmente hacia arriba, no caiga otra vez a la Tierra (despreciando la resistencia del aire), sino que se aleje al infinito, hay que comunicarle una velocidad de 11’2 km/seg. Esta velocidad se denomina velocidad de escape o velocidad de liberación.
Al igual que hemos calculado la masa de la Tierra, podemos determinar la del Sol. No obstante, antes tendremos que recordar algunos conceptos básicos del movimiento circular.
Sabemos que la velocidad lineal de un cuerpo que gira alrededor de otro es
v = wR
Ecuación 7
donde w es la velocidad angular constante y R el radio de giro.
Relacionando la velocidad con el periodo T de rotación del cuerpo, tenemos que
w = 2π /T
Ecuación 8
Sabemos que el número de revoluciones (frecuencia, N), es la inversa del periodo, luego
N = 1/T
Ecuación 9
de aquí, según ecuación 8 deducimos que la velocidad angular del sólido se representa así:
w = 2π N
Ecuación 10
Recordemos que en el movimiento curvilíneo, la aceleración que podemos considerar total w se halla descompuesta en dos; la tangencial y la centrípeta o normal[1].
El valor de la aceleración centrípeta es:
w0 = v2/R
Ecuación 11
Donde v es la velocidad del cuerpo en el punto dado, y R el radio de curvatura en ese punto. Diremos que, como es lógico
w = V( w02 + wt2 )
donde w es la aceleración total y, wn y wt son las aceleraciones centrípeta y tangencial, respectivamente.
Sustituyendo en la ecuación 11 la velocidad v por el valor obtenido en la ecuación 7, tenemos:
wn = w2R
Ecuación 12
Teniendo en cuenta la ecuaciones 9 y 10, la ecuación anterior la podemos expresar:
wn = 4π2 R/T2
Ecuación 13
Recordados los conocimiento básicos del movimiento circular, vamos a entrar de lleno en la determinación de la masa del Sol.
La masa de un astro central a cuyo alrededor gira un satélite se puede determinar conociendo el radio de la órbita del satélite y su periodo de traslación.
Estos valores, con respecto a la Tierra son fáciles de determinar; tenemos:
Radio de la órbita ( Rt ) = 149’5162·10 elevado a 13 cm.
Periodo de traslación ( Tt ) = 31’557·10 elevado a 6 seg.
Otro valor que habrá que tener en cuenta: k = 6’685·10 elevado a -8 cm3 / g · seg2
La resolución de la fórmula que nos llevará a determinar la masa del Sol, la iniciamos a continuación.
Al principio de la página 1 decimos que la fuerza con que un cuerpo es atraído por laTierra es:
v = V[6’685·10 elevado a -8(2·5’98·10 elevado a 27/6’37·10 elevado a 8)] cm/seg = 11’2·10 elevado a 5 cm/seg.
Así, tenemos que un cuerpo que cae sobre la superficie de la Tierra desde el infinito, debido a la atracción de la Tierra, alcanza la velocidad de 11’2 km/seg. Y viceversa, para que un cuerpo lanzado desde la superficie de la Tierra, verticalmente hacia arriba, no caiga otra vez a la Tierra (despreciando la resistencia del aire), sino que se aleje al infinito, hay que comunicarle una velocidad de 11’2 km/seg. Esta velocidad se denomina velocidad de escape o velocidad de liberación.
Al igual que hemos calculado la masa de la Tierra, podemos determinar la del Sol. No obstante, antes tendremos que recordar algunos conceptos básicos del movimiento circular.
Sabemos que la velocidad lineal de un cuerpo que gira alrededor de otro es
v = wR
Ecuación 7
donde w es la velocidad angular constante y R el radio de giro.
Relacionando la velocidad con el periodo T de rotación del cuerpo, tenemos que
w = 2π /T
Ecuación 8
Sabemos que el número de revoluciones (frecuencia, N), es la inversa del periodo, luego
N = 1/T
Ecuación 9
de aquí, según ecuación 8 deducimos que la velocidad angular del sólido se representa así:
w = 2π N
Ecuación 10
Recordemos que en el movimiento curvilíneo, la aceleración que podemos considerar total w se halla descompuesta en dos; la tangencial y la centrípeta o normal[1].
El valor de la aceleración centrípeta es:
w0 = v2/R
Ecuación 11
Donde v es la velocidad del cuerpo en el punto dado, y R el radio de curvatura en ese punto. Diremos que, como es lógico
w = V( w02 + wt2 )
donde w es la aceleración total y, wn y wt son las aceleraciones centrípeta y tangencial, respectivamente.
Sustituyendo en la ecuación 11 la velocidad v por el valor obtenido en la ecuación 7, tenemos:
wn = w2R
Ecuación 12
Teniendo en cuenta la ecuaciones 9 y 10, la ecuación anterior la podemos expresar:
wn = 4π2 R/T2
Ecuación 13
Recordados los conocimiento básicos del movimiento circular, vamos a entrar de lleno en la determinación de la masa del Sol.
La masa de un astro central a cuyo alrededor gira un satélite se puede determinar conociendo el radio de la órbita del satélite y su periodo de traslación.
Estos valores, con respecto a la Tierra son fáciles de determinar; tenemos:
Radio de la órbita ( Rt ) = 149’5162·10 elevado a 13 cm.
Periodo de traslación ( Tt ) = 31’557·10 elevado a 6 seg.
Otro valor que habrá que tener en cuenta: k = 6’685·10 elevado a -8 cm3 / g · seg2
La resolución de la fórmula que nos llevará a determinar la masa del Sol, la iniciamos a continuación.
Al principio de la página 1 decimos que la fuerza con que un cuerpo es atraído por laTierra es:
f = mw
Ecuación 14
En el caso que nos ocupa, la fuerza de atracción f es la que crea la aceleración centrípeta en el satélite Tierra y es
f = Mtwn
y que la misma fuerza es la que mantiene unidos al Sol y la Tierra, esto es
f = k ( MsMt)/Rt2
Ecuación 14
En el caso que nos ocupa, la fuerza de atracción f es la que crea la aceleración centrípeta en el satélite Tierra y es
f = Mtwn
y que la misma fuerza es la que mantiene unidos al Sol y la Tierra, esto es
f = k ( MsMt)/Rt2
Por lo que igualando estas dos ecuaciones y teniendo en cuenta la ecuación 13 tenemos:
k(MsMt)/Rt2 = Mt(4π2 Rt)/Tt 2
y operando
Ms = (4π2 /k) · (Rt3/Tt2)
Resolviendo, con los datos expresados más arriba de la órbita de la Tierra y de su período de traslación, encontramos la masa del Sol
Ms = 1’98 · 10 elevado a 33g.
Por su relación con la gravitación universal, vamos a referirnos a las fuerzas de inercia, de la forma más simple posible, para llegar al cálculo de la velocidad orbital, que es la que debe alcanzar un satélite artificial para que gire alrededor de la Tierra sin caer sobre ella
Sin referirnos a la inercia en el caso del movimiento lineal, vamos a entrar de lleno en el movimiento circular. Espero que la explicación sea comprensible.
Fig.1
k(MsMt)/Rt2 = Mt(4π2 Rt)/Tt 2
y operando
Ms = (4π2 /k) · (Rt3/Tt2)
Resolviendo, con los datos expresados más arriba de la órbita de la Tierra y de su período de traslación, encontramos la masa del Sol
Ms = 1’98 · 10 elevado a 33g.
Por su relación con la gravitación universal, vamos a referirnos a las fuerzas de inercia, de la forma más simple posible, para llegar al cálculo de la velocidad orbital, que es la que debe alcanzar un satélite artificial para que gire alrededor de la Tierra sin caer sobre ella
Sin referirnos a la inercia en el caso del movimiento lineal, vamos a entrar de lleno en el movimiento circular. Espero que la explicación sea comprensible.
Fig.1El hombre sentado en una plataforma giratoria tira de una pesa con la fuerza f para hacerala girar.
Imaginemos un hombre sentado en una plataforma giratoria con una piedra de masa m en las manos (fig. 1). Para que la piedra se desplace junto con la plataforma, es decir, describiendo una circunferencia de radio R, es necesario comunicar a la piedra una aceleración centrípeta wn = w2R, donde w es la velocidad angular de la plataforma. Para ello, el hombre debe tirar de manera continua de la piedra para aplicarla una fuerza centrípeta f = mw2R, para, así, obligarla a girar. Sin la fuerza centrípeta f, la piedra saldría disparada tangencialmente. A su vez, la piedra actúa sobre las manos del hombre con una fuerza f’ = -f; esta fuerza f’ está aplicada a las manos del hombre y dirigida hacia el exterior, de esta forma, la piedra, en la dirección del radio de la plataforma, está en equilibrio. A esta fuerza f’ se la denomina fuerza centrífuga de inercia.
Con estos conceptos, vamos a calcular la velocidad orbital
Supongamos la Tierra perfectamente esférica y tuviéramos un cuerpo de masa m girando sobre su superficie, según el ecuador, a la velocidad lineal v, y sin rozar la superficie terrestre.
Tengamos en cuenta:
1º.- Lo expuesto en el caso del ejemplo de la figura 1, donde, en este tipo de movimiento, la fuerza centrífuga tiene el mismo valor (f = mw2R) y sentido contrario que la fuerza centrípeta ( R = radio de la Tierra).
2º.- Recordemos, además, que las fuerzas centrípeta y centrífuga son las dos fuerzas cuya existencia viene determinada por el principio de la igualdad de la acción y reacción, fuerzas opuestas y de igual valor cuando el cuerpo al que se aplican se halla en equilibrio con respecto a la dirección en que se aplican estas fuerzas. Por ejemplo, en el caso de hacer girar una piedra atada a una cuerda, la fuerza centrípeta está aplicada a la piedra y la centrífuga a la cuerda. En el caso de la Luna girando alrededor de la Tierra, la fuerza centrípeta está aplicada a la Luna y la centrífuga a la Tierra. Si queremos que la piedra y la Luna sigan con la misma velocidad hay que mantener el equilibrio entre estas dos fuerzas. En el caso de la piedra, la mano que sujeta la cuerda tiene que aplicar una fuerza de igual valor a la centrífuga, y en el caso de la Luna la fuerza que equilibra a la centrífuga es la de la gravedad.
Con lo dicho hasta aquí, volvamos a nuestro caso del cuerpo de masa m que gira sobre la superficie de la Tierra. Teniendo en cuenta la ecuación 7, deducimos que
w = v/R
aplicando este valor en la ecuación referida a la fuerza centrípeta; f = mw2R, resulta:
Imaginemos un hombre sentado en una plataforma giratoria con una piedra de masa m en las manos (fig. 1). Para que la piedra se desplace junto con la plataforma, es decir, describiendo una circunferencia de radio R, es necesario comunicar a la piedra una aceleración centrípeta wn = w2R, donde w es la velocidad angular de la plataforma. Para ello, el hombre debe tirar de manera continua de la piedra para aplicarla una fuerza centrípeta f = mw2R, para, así, obligarla a girar. Sin la fuerza centrípeta f, la piedra saldría disparada tangencialmente. A su vez, la piedra actúa sobre las manos del hombre con una fuerza f’ = -f; esta fuerza f’ está aplicada a las manos del hombre y dirigida hacia el exterior, de esta forma, la piedra, en la dirección del radio de la plataforma, está en equilibrio. A esta fuerza f’ se la denomina fuerza centrífuga de inercia.
Con estos conceptos, vamos a calcular la velocidad orbital
Supongamos la Tierra perfectamente esférica y tuviéramos un cuerpo de masa m girando sobre su superficie, según el ecuador, a la velocidad lineal v, y sin rozar la superficie terrestre.
Tengamos en cuenta:
1º.- Lo expuesto en el caso del ejemplo de la figura 1, donde, en este tipo de movimiento, la fuerza centrífuga tiene el mismo valor (f = mw2R) y sentido contrario que la fuerza centrípeta ( R = radio de la Tierra).
2º.- Recordemos, además, que las fuerzas centrípeta y centrífuga son las dos fuerzas cuya existencia viene determinada por el principio de la igualdad de la acción y reacción, fuerzas opuestas y de igual valor cuando el cuerpo al que se aplican se halla en equilibrio con respecto a la dirección en que se aplican estas fuerzas. Por ejemplo, en el caso de hacer girar una piedra atada a una cuerda, la fuerza centrípeta está aplicada a la piedra y la centrífuga a la cuerda. En el caso de la Luna girando alrededor de la Tierra, la fuerza centrípeta está aplicada a la Luna y la centrífuga a la Tierra. Si queremos que la piedra y la Luna sigan con la misma velocidad hay que mantener el equilibrio entre estas dos fuerzas. En el caso de la piedra, la mano que sujeta la cuerda tiene que aplicar una fuerza de igual valor a la centrífuga, y en el caso de la Luna la fuerza que equilibra a la centrífuga es la de la gravedad.
Con lo dicho hasta aquí, volvamos a nuestro caso del cuerpo de masa m que gira sobre la superficie de la Tierra. Teniendo en cuenta la ecuación 7, deducimos que
w = v/R
aplicando este valor en la ecuación referida a la fuerza centrípeta; f = mw2R, resulta:
f = mv2/R
Como para compensar la fuerza de la gravedad y, así, conseguir que el cuerpo no fuera atraído por la Tierra, la fuerza de la gravedad y la fuerza centrípeta f deberían ser iguales.
Sabemos que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son: :
fuerza de la gravedad = mg0
fuerza centrípeta, deducida últimamente = mv2 /R
igualando estas dos fuerzas
mv2/R = mg0
resulta
v = V(g0 R)
Como
g0 = 981 cm / seg2 y R = 6.370 km = 6’37 · 10 elevado a 8 cm, tenemos que.
v = V(981· 6’37·10 elevada a 8) cm/seg = 7’91·10 elevado a 5 cm/seg = 7’9 km/seg
En el caso del movimiento de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra, según una órbita circular, a la altura de 2.000 km , como la aceleración de gravedad a esa altura es de 568 cm/seg2 y R = 8370 km (6370 + 2000) la velocidad orbital del satélite sería
V(568 · 8’37 · 10 elevado a 8) cm/seg = 6’9 km/seg
Al principio de este escrito hemos determinado la masa y volumen de la Tierra así como la velocidad de escape. Con estos datos estamos en condiciones de determinar cual sería el valor de la masa de un agujero negro de volumen igual al de la Tierra.
Como sabemos, un agujero negro es una región del espacio - tiempo motivada por un colapso gravitatorio de materia donde la atracción gravitatoria se ha hecho tan intensa que ni la luz puede escapar
Según esto, podemos imaginar que la masa y su concentración de un agujero negro son tan enormes que la velocidad de escape en él superan incluso a la velocidad de la luz. Por tanto, nos será fácil resolver el problema propuesto, partiendo de la velocidad de la luz, resolución que, por su sencillez, dejamos que la realice el lector. Para ello debe partir de la ecuación 6 de la página 4, que nos da la velocidad de escape, poniendo en lugar de v la velocidad de la luz expresada en centímetros.
El resultado nos dice que la masa del agujero negro de volumen igual al de la Tierra debería ser superior a 4’3×10 elevado a 36 gramos., lo que supone 10 elevado a 9; mil millones de veces superior a la masa de la Tierra. Este valor nos dice que un centímetro cúbico de masa del agujero negro pesaría 5.500 toneladas en la Tierra.
[1] Si pretendiéramos tirar una piedra con una honda, la aceleración tangencial es la que hace que la piedra salga disparada, y la aceleración centrípeta es la que mantiene la piedra en la honda mientras la hacemos girar.
fuerza de la gravedad = mg0
fuerza centrípeta, deducida últimamente = mv2 /R
igualando estas dos fuerzas
mv2/R = mg0
resulta
v = V(g0 R)
Como
g0 = 981 cm / seg2 y R = 6.370 km = 6’37 · 10 elevado a 8 cm, tenemos que.
v = V(981· 6’37·10 elevada a 8) cm/seg = 7’91·10 elevado a 5 cm/seg = 7’9 km/seg
En el caso del movimiento de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra, según una órbita circular, a la altura de 2.000 km , como la aceleración de gravedad a esa altura es de 568 cm/seg2 y R = 8370 km (6370 + 2000) la velocidad orbital del satélite sería
V(568 · 8’37 · 10 elevado a 8) cm/seg = 6’9 km/seg
Al principio de este escrito hemos determinado la masa y volumen de la Tierra así como la velocidad de escape. Con estos datos estamos en condiciones de determinar cual sería el valor de la masa de un agujero negro de volumen igual al de la Tierra.
Como sabemos, un agujero negro es una región del espacio - tiempo motivada por un colapso gravitatorio de materia donde la atracción gravitatoria se ha hecho tan intensa que ni la luz puede escapar
Según esto, podemos imaginar que la masa y su concentración de un agujero negro son tan enormes que la velocidad de escape en él superan incluso a la velocidad de la luz. Por tanto, nos será fácil resolver el problema propuesto, partiendo de la velocidad de la luz, resolución que, por su sencillez, dejamos que la realice el lector. Para ello debe partir de la ecuación 6 de la página 4, que nos da la velocidad de escape, poniendo en lugar de v la velocidad de la luz expresada en centímetros.
El resultado nos dice que la masa del agujero negro de volumen igual al de la Tierra debería ser superior a 4’3×10 elevado a 36 gramos., lo que supone 10 elevado a 9; mil millones de veces superior a la masa de la Tierra. Este valor nos dice que un centímetro cúbico de masa del agujero negro pesaría 5.500 toneladas en la Tierra.
[1] Si pretendiéramos tirar una piedra con una honda, la aceleración tangencial es la que hace que la piedra salga disparada, y la aceleración centrípeta es la que mantiene la piedra en la honda mientras la hacemos girar.
BIBLIOGRAFÍA
Frish, S. y Timoreva, A. (1967). Curso de Física General (3 tomos) Moscu: Editorial Mir (Antonio Molina García Trad.) Impreso en la URSS.
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